집합과 연산(·) 한 가지를 합쳐서 정의한다.
연산(·)이 덧셈인 경우 additive group이라고 부른다. 곱셈인 경우 multiplicative group.
Group은 하단의 A1~A4의 성질을 만족한다..
(A1) Closure
a와 b가 G에 속하면, a·b는 G에 속한다.
집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질
(A2) Associative(결합 법칙)이 성립
a·(b·c)=(a·b)·c for all a, b, c in G
(A3) Identity element(항등원)이 존재
a가 G에 속할 때, a·e = e·a = a라면 e는 G에 속한다.
항등원 e를 가지는 것
(A4) Inverse element(역원)이 존재
각 a가 G에 속할 때, a·$a^{-1}$ = $a^{-1}$·a = e를 만족하는 G에 속하는 $a^{-1}$가 있다.
즉, 역원 $a^{-1}$을 가진다.
Abelian group
a·b = b·a for all a, b in G이러한 그룹이 유한개의 원소로 이루어져 있다면
무한개로 이루어졌다면
뺄셈, 나눗셈은 덧셈, 곱셈의 역원으로 정의할 수 있다. (= 덧셈, 곱셈에 대한 group이 성립한다.)
ex) (2 - 4) mod 8 = -2 mod 8 = 6
→ (2 + (-4)) mod 8
→ 2 mod 8 + (-4 mod 8)
⇒ 2 + 4 = 6
뺄셈을 음수의 덧셈으로 취하고 계산하였을 경우 동일한 값을 가진다.

그룹 연산자를 반복하여 exponentiation을 정의
$a^0$ = e를 항등원이라고 정의한다.
$a^{-n}$ = (a′)n인 a'는 그룹 내 a의 역원이라고 정의한다.
Cyclic Group:
G에 속하는 어떤 원소 a가 $a^k$형태로 G의 모든 원소들을 나타낼 수 있으면, 해당 그룹을 Cyclic group이라고 부른다.
cyclic group은 항상 abelian이고 finite 또는 infinite하다.
a·(b+c) = a·b+a·c