Groups

• 집합과 연산(·) 한 가지를 합쳐서 정의한다.

• 연산(·)이 덧셈인 경우 additive group이라고 부른다. 곱셈인 경우 multiplicative group.

• Group은 하단의 A1~A4의 성질을 만족한다..

  • (A1) Closure

    a와 b가 G에 속하면, a·b는 G에 속한다.

    집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질

  • (A2) Associative(결합 법칙)이 성립

    a·(b·c)=(a·b)·c for all a, b, c in G

  • (A3) Identity element(항등원)이 존재

    a가 G에 속할 때, a·e = e·a = a라면 e는 G에 속한다.

    항등원 e를 가지는 것

  • (A4) Inverse element(역원)이 존재

    각 a가 G에 속할 때, a·$a^{-1}$ = $a^{-1}$·a = e를 만족하는 G에 속하는 $a^{-1}$가 있다.

    즉, 역원 $a^{-1}$을 가진다.

• Abelian group

  • (A5) Commutative(교환 법칙)이 성립하는 그룹a·b = b·a for all a, b in G

• 이러한 그룹이 유한개의 원소로 이루어져 있다면

  • -> finite group

  무한개로 이루어졌다면

  • -> infinite group

• 뺄셈, 나눗셈은 덧셈, 곱셈의 역원으로 정의할 수 있다. (= 덧셈, 곱셈에 대한 group이 성립한다.)

  • ex) (2 - 4) mod 8 = -2 mod 8 = 6

    → (2 + (-4)) mod 8

    → 2 mod 8 + (-4 mod 8)

    ⇒ 2 + 4 = 6

    뺄셈을 음수의 덧셈으로 취하고 계산하였을 경우 동일한 값을 가진다.

Cyclie Group

• 그룹 연산자를 반복하여 exponentiation을 정의

  • $a^3$ = a·a·a
  • 위 경우는 연산자를 곱셈으로 본 것

• $a^0$ = e를 항등원이라고 정의한다.

• $a^{-n}$ = (a′)n인 a'는 그룹 내 a의 역원이라고 정의한다.

  • $a^{-n}$ 을 a의 역원인 $a^{-1}$의 n승으로 나타낼 수 있다. -> $(a^{-1})^n$

• Cyclic Group:

  G에 속하는 어떤 원소 a가 $a^k$형태로 G의 모든 원소들을 나타낼 수 있으면, 해당 그룹을 Cyclic group이라고 부른다.

  • 여기서 a는 G를 generate 한다고 하고, a를 G의 generator라고 부른다.

• cyclic group은 항상 abelian이고 finite 또는 infinite하다.

  • cyclic group은 항상 교환 법칙이 성립함.

Fields

• 집합과 두 가지 이진 연산(덧셈, 곱셈)을 정의한다.
• field는 {F, +, *}로 표현한다.
• field는 다음의 공리를 만족한다.
  • (A1~A5)덧셈과 곱셈에 대해 abelian group(교환 법칙 성립)이 된다.
  • No zero divisors
    • a, b가 F에 속하고 ab=0이면 a=0 또는 b=0이다.
  • Distributive law(분배 법칙)a·(b+c) = a·b+a·c